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直线的投影–点、直线、平面的投影

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1.直线的投影特性

直线由两点确定,要作直线的投影,实质就是作出线上两点的投影,也就是说,它的投影由直线上两点的同面投影的连线来确定,如图3-10所示。直线的投影一般情况下仍为直线,特殊情况下积聚为点。


图3-10 投影

直线的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的,按直线对投影面的相对位置,直线分为:
(1)投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线。
(2)投影面平行线:平行于某一投影面的直线。
(3)一般位置直线:对三个投影面均倾斜的直线。
直线对投影面之间的夹角称为倾角。在三投影面体系中,直线对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示。

表3-1 直线的分类

l.1投影面垂直线
垂直一个投影面(平行于另外两个)的直线,称为投影面的垂直线。包括:铅垂线–垂直于H面;正垂线–垂直于V面;侧垂线一垂直于W面。投影面的垂直线的投影特性:
(1)在与线段垂直的投影面上,该线段的投影积聚成一点。
(2)其余两个投影垂直与相应的投影轴,且反映该线段的实长。

表3-2 投影面垂直线

种类
立体图
投影图
投影特性
铅垂线
(1)水平投影积聚为一点:
(2)正面投影和侧面投影平行于相应的投影轴,且反映实长。
正垂线
(1)正面投影积聚为一点:
(2)水平投影和侧面投影平行于相应的投影轴,且反映实长。
侧垂线
(1)侧面投影积聚为一点:
(2)水平投影平行于OX轴,且反映实长。
(3)正面投影平行于OX轴,且反映实长。

1.2 投影面的平行线
只平行于一个投影面的直线,称为投影面的平行线。包括:水平线–平行于H面。正平线–平行于V面;侧平线–平行于W面。投影面的平行线的投影特性:
(1)在与线段平行的投影面上,该线段的投影为倾斜的线段,反映实长。
(2)其余两个投影分别平行于相应的投影轴,且都小于实长。

表3-3 投影面平行线

种类
立体图
投影图
投影特性
水平线

(1)水平投影反映实长,水平投影和投影轴的夹角反映了直线对V面和W面的真实倾角。
(2)正面投影平行于OX轴。
(3)侧面投影平行于OYw轴。
正平线

(1)正面投影反映实长,正面投影和投影轴的夹角反映了直线对H面和W的真实的夹角。
(2)水平投影平行于OX轴;
(3)侧面投影平行于OZ轴。
侧平线

(l)侧面投影反映实长,侧面投影和投影轴的夹角反映了直线对H面和V面的真实夹角。
(2〉正面投影平行于OZ轴:
(3〉水平投影平行于OYH。

1.3一般位置直线
由于一般位置直线对三个投影面都倾斜,因此,其三个投影都是倾斜线段,且都小于该直线段的实长,如图3-9中的一般位置直线AB。
与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。直线与H、V和W三投影面的夹角分别用α、β、γ表示。

表3-4 一般位置直线

种类
立体图
投影图
投影特性
一般位置直线
(l)其三个投影都是倾斜线段,且都小于该直线段的实长。
(2〉ab=ABcosα;a’b ‘=ABcos b;a”b”=ABcos r
(3)三个投影与相应投影轴的夹角不反映直线与投影面的真实倾角。

一般位置直线的实长及其对技影面的倾角
一般位置线段的投影既不反映该线段的实长,也不反映该线段对投影面的倾角。但是,一般位置线两个投影完全确定了它在空间的位置以及线段上各点的相对位置,因此,可以在投影图上用图解的方法求出该线段的实长及其对投影面的倾角。即用直角三角形法来求一般位置直线的实长及对投影面的倾角。

求一般位置线段实长及其对H面的倾角:
以AB的水平投影ab为一直角边,另一直角边ZB-ZA可在正面投影中找出,即b’b1’;过点b作b B1⊥ab,使b B1=ZB-ZA=b’b1’,连接点a和B1。得直角三角形ab B1,斜边a B1长度即为线段AB的实长,∠baB1即为线段AB对H面的倾角α。
图3-11(c)示出另一种作图方法:在正面投影中以b’b1’为一直角边,在a’b1’的延长线上截取水平投影ab的长度,即使b1’A1,得直角三角形b’b1’A。斜边b ‘A的长度即为线段AB的实长,∠b’A1 b1’即为线段AB对H面的倾角α。


图3-11 求一般位置线段实长及其对V面的倾角

  在图3-12(a)中,CD为一般位置线段,过点D作DC1‖d’c’,得直角三角形DCC1 ,一直角边C1D= d’c’,另一直角边CC1=YC-YD。在投影图上的作图方法如图3-12(b)所示:以正面投影c’d’为一直角边,另一直角边YC-YD应在水平投影中找出,即cc1 ;过点c’作c’ C1⊥c’d’,并使 c’ C1=YC-YD= cc1,连点d’ C1,得直三角形d’c’ C1。其中斜边d’C1即为线段CD的实长,∠C1d’c’即为线段CD对V面的倾角β。
图3-12(c)示出另一种作图方法:在水平投影中以cc1为一直角边,在dc1延长线上截取正面投影c’d’的长度,即c1 D1 =c’d’,连线cD1 ,得直角三角形cc1 D1 。斜边cD1 即为线段CD的实长,∠cD1c1即为β。
以上利用直角三角形求作线段实长和倾角的方法,称为直角三角形法。其作法的要点是:以该线段在某投影面上的投影为一直角边,以该线段两端点对该投影面的坐标差为另一直角边,作一直角三角形,其斜边即为空间线段的实长,距离差所对锐角即为空间线段对该投影面的倾角。


图3-12 求一般位置线段实长及其对H面的倾角

例3-3:已知线段AB的水平投影ab和点B的正面投影b’,线段AB与H面夹角α=30°,作出AB的正面投影〔见图3-13(a)〕。
分析:利用直角三角形法和对投影面的倾角来求一般位置直线的两端点的高度差。继而求出阿a’。
作图过程:
(1)见图3-13(b),在水平投影中过点b作直线垂直于ab;
(2)作∠baB=30°,得直角三角形abB;
(3)Bb是AB两端点的Z坐标差,据此即可在正面投影中作出点a’,进而求得AB的正面投影a’b’。


图3-13 用直角三角形法作出AB的正面投影a’b’

2.点与直线的相对位置

点与直线的相对位置有两种情况:点在直线上和点在直线外。
直线AB上的任一点K有以下投影特性(图3-14):
⑴点在直线上,则点的各个投影必定在直线的同面投影上。A点的投影a、a’、a〃分别在cd 、c’d’、   c〃d〃上。
⑵同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。A点在线段CD上,则CA:AD=ca:ad =c’a’:a’d’=c〃a〃:a〃d〃。

直线上的点具有从属性和定比性。若点在直线上,则点的各个投影必在直线的同面投影上,且点分割直线长度之比等于点的投影分割直线投影长度之比。
对于一般位置直线只要观察两个投影即可确定。但对于投影面平行线,则应察看直线所平行的那个投影面上的投影,或者根据定比性来判断。

 


图3-14 点在直线上

3.两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉(表3-5所示):

表3-5 国家标准中推荐供优先选用的比例

相对位置
投影图
投影关系
平行
两直线平行,其各同面投影均互相平行。反之,如果两直线的各个同面投影相互平行,则两制现在空间也一定相互平行。
相交

两直线相交,其各同面投影必相交,且各投影的交点符合投影规律
交叉

两直线交叉,其投影不具有两直线平行或相交的投影特性。
重影点的可见性要根据它们另外的两投影来判别。

4.直角的投影

  空间两直线相交,如果两直线均平行于某一投影面,则在该投影面上的投影反映直角;如果正交的两直线芋投影面均不平行,则在该投影面上的投影不反映直角;如果正交的两直线中有一条直角边平行于某一投影面,则在该投影面上的投影为直角。直角的这一投影特性称为直角投影定理。此定理的逆定理成立。


图3-15 直角投影

  例3-4:已知长方形ABCD的水平投影ab和点C的正面投影c’,补全ABCD的水平和正面投影〔见图3-16(a)〕。
分析:利用长方形ABCD均为直角,AB为水平线,AB垂至于BC,利用直角投影定理可以求出bc,再利用平行关系补全ABCD的水平和正面投影。
作图过程:
(1)在水平投影中过点b作直线垂直于ab,并利用点的投影得到a,见图3-16(b);
(2)作ad//bc,cd//ab并相交于点d;
(3)作a’d’//b’c’,c’d’//a’b’并相交于点d’。


图3-16 补全ABCD投影

  例3-5:试判断下图中各队相交直线中那一对垂直相交〔见图3-17(a)〕。
分析:
(1)AB为水平线,BC为一般位置直线,两直线水平投影垂直,故两直线相互垂直;
(2)两直线两面投影垂直,为一般位置直线,不反映空交夹角实形,故两直线不相互垂直;
(3)AB为侧平线,BC为侧垂线,故两直线相互垂直。
(4)AB为水平线,BC为侧平线,两直线不相互垂直。


图3-17 判断相交直线是否垂直

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