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点的投影–点、直线、平面的投影

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1.点在两投影面体系中的投影

如图3-l所示,空间两点A和B位于H投影面的同一条垂线上,因此它们在H面的投影a、b豆合为一点,而且投影是唯一的。反之,若根据它们的投影a和b却不能唯一的确定A、B点的空间位置。要根据点的投影确定其空间位置,必须把点放在两投影面体系或多投影面体系中进行投影。

 

图3-1 点的投影 图3-2 两投影面体系

  如图3-2所示,两投影面体系是由两个相互垂直的投影面H和V组成,H一水平投影面,V一正立投影面,OX一投影轴,整个空间被投影面划分为四个部分I、II、III、IV,每一部分称为一个分角。我国标准《技术制图和机械制图》规定将机件放在第一分角(简称第一角)进行投影,因此,本教程主要介绍第一角的投影。

将空间点A向水平投影面H和正立投影面V引垂线,得垂足a和a’,a点为A的水平投影,a’点为A的正面投影,如图3-3(a)所示。移去A点由a和a’可确定点的空间位置。因此,根据同一点的两投影可以唯一确定空间点位置。
规定:空间点用大写字母表示,点的两个投影都用同一个小写字母表示,其中:H投影不加撇,V投影加一撇。
为了将点的两投影表示在同一平面上,需将两投影面体系进行展开。其中规定:V面不动,H面绕OX轴向下旋转90度与V面重合,同时移去空间点,如图3-3(a)和3-3(b)所示,,图3-3(b)称为点的两面正投影图,通常简化按3-3(c)作图。点在两投影面体系的投影特性如下:

(l)点的正面投影a’和水平投影a的连线垂直于ox轴,即aa’⊥OX。
(2)点的正面投影a’到OX轴的距离等于点A到H面的距离,即a’a=Aa;
(3)水平投影a到OX轴的距离等于点A到V面的距离,即aax=Aa’。


图3-3 点在两投影面体系的投影

2.点在三面投影体系中的投影

三面投影体系的建立如图3-4所示,空间点位于H面、V面、W面构成的三面投影体系中,由点分别向V、H、W面作投影依次得到正面投影、水平投影、侧面投影。为使三个投影面扩展到同一平面,现保持V面不动,使H面绕轴向下旋转到与V面重合,使W面绕轴向由旋转到与V面重合,这样得到点的三面投影图,在实际的画图中,往往不绘出投影面的边框。需要注意的是在三面投影体系的展开过程中,Y轴被一分为二。点在两投影面体系的投影特性如下:

(l)点的正面投影a’和水平投影a的连线垂直于ox轴,即aa’⊥OX。
(2)点的正面投影a’到OX轴的距离等于点A到H面的距离,即a’a=Aa;
(3)水平投影a到OX轴的距离等于点A到V面的距离,即aax=Aa’。


图3-4 投影

3.点的投影与直角坐标的关系
因为三面投影体系是直角坐标系,所以其投影面、投影轴、原点分别可以看作坐标面、坐标轴、坐标原点。这样空间点到投影面的距离可以用坐标来表示,点的坐标值唯一确定相应的投影。点A的坐标与点A的投影之间有如下的关系:

空间点的任一个投影可以反映两个坐标,水平投影a由x、y坐标确定,正面投影a’由x、z坐标确定,侧面投影由y、z坐标确定。

例3-1 已知点A的两个投影a’、a”,求其第三投影a。(如图3-9a所示)
作图步骤:
(1)过a’点作OX轴的垂线。
(2〉过a”作OYw轴的垂线,并转化为与OYH轴交于aYH,过aYH作OX轴的平行线。
(3)所作两直线的交点a即为点A的水平投影。

 
图3-5 求点第三投影

例3-2 已知点A的坐标(15,8,12)求作点A的二面投影图。
作图步骤:
(l)画投影轴,并由原点在轴的左方做Z轴的平行线,距离Z轴15mm,交OX于ax
(2)确定正面投影和水平投影。自ax起沿Z方向量取13mm得a’,自ax起沿YH方向量取10mm得a。
(3)求侧面投影。按照点的投影规律做出

 
图3-6 求点A的二面投影

例3-3 一些特殊位置点的投影图。


图3-7 特殊位置点的投影

4.空间点的相对位置
4.l两点的相对位置
根据两点的各个同面投影之间坐标关系,可以判断空间两点的相对位置。即两个空间点的左右、上下、前后位置关系。根据X坐标可判断两点左右之间的关系,X坐标大的为左,反之为右;根据Y坐标可判断两点前后之间的关系Y坐标大的为前,反之为后;根据Z坐标可判断两点上F之间的位置关系,Z坐标大的为上,反之为下。如图3一12所示,B点在点A的右、左、下方。


图3-8 两点的相对位置

4.2重影点

如图3一13a所示,点A、B位于同一条对V面的投影线上,它们的正投影重合为一点,点A、B称为对V面的重影点,由于A点的Y坐标大于B点的Y坐标,因此,A的正投影可见,而B点的正投影不可见,不可见点的投影需加括号。
对V面的一对重影点是正前后的关系,对H面的一对重影点是正上下的关系,对V面的一对重影点是正左右的关系。


图3-9 重影点

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